Kaan
Yeni Üye
7, 8 ve 9 Sayılarının Ortak Katı Nedir? Bir Akşamın İçinden Çıkan 504
Geçenlerde çok sıradan başlayan bir akşamın, beni yeniden temel matematiğin ne kadar ilginç olabileceğini düşünmeye götüreceğini hiç tahmin etmezdim. Evde oturmuş, masanın üzerinde duran eski bir defterin sayfalarını karıştırıyordum. Defterin arasında çocukların çözdüğü birkaç matematik sorusu vardı. Sorulardan biri özellikle dikkatimi çekti:
“7, 8 ve 9 sayılarının ortak katı nedir?”
İlk bakışta insanın aklına hemen “504” cevabı geliyor. Fakat mesele yalnızca 504 sayısını bulmak değil. Bir sayının neden ortak kat olduğunu anlamak, özellikle de bunu günlük hayattaki planlama ve tekrar eden olaylarla ilişkilendirmek, soruyu çok daha anlamlı hâle getiriyor.
O akşam bu küçük soruyu çözmek için masaya oturan üç kişinin hikâyesini zihnimde canlandırdım. Hikâyenin içinde matematik kadar insanların farklı düşünme biçimleri, geçmişten bugüne değişen zaman anlayışı ve birlikte karar vermenin önemi de vardı.
Belki siz de okurken kendinizi bu masanın bir köşesinde hissedersiniz.
Eski Defter ve Üç Farklı Bakış Açısı
Defterin sahibi olan Deniz, sayılara bakınca doğrudan sonuca gitmeyi seven biriydi. Önündeki problemi görür görmez:
“7, 8 ve 9’un ortak katını bulmamız gerekiyor. Önce asal çarpanlarına ayıralım,” dedi.
Yanında oturan Kerem ise daha stratejik düşünüyordu. Onun için bir problemi çözmek, yalnızca doğru cevabı bulmak değil, gereksiz adımları ortadan kaldırmak anlamına geliyordu.
“Önce 7 ile 8’in durumuna bakalım. 7 asal, 8 ise 2’nin üçüncü kuvveti. Bunların ortak böleni yok. Dolayısıyla 7 × 8 = 56. Sonra 56 ile 9’u karşılaştırırız.”
Masadaki üçüncü kişi Zeynep ise hemen hesaplamaya başlamadı.
“Bir dakika,” dedi. “Bu sorunun gerçek hayatta neye benzediğini düşünelim. Mesela biri 7 günde bir, diğeri 8 günde bir, üçüncüsü 9 günde bir gerçekleşen üç etkinlik olsa, hepsinin aynı güne denk gelmesini istesek ne yapardık?”
Bu soru masadaki havayı değiştirdi.
Kerem hesaplamaya odaklanmıştı.
Deniz sonucu bulmak istiyordu.
Zeynep ise problemin arkasındaki ilişkiyi görmeye çalışıyordu.
Burada özellikle hoşuma giden bir ayrıntı vardı: Birinin erkek, diğerinin kadın olması, düşünme biçimlerinin nedeni değildi. Üçünün de farklı yaklaşımı kişiliklerinden, deneyimlerinden ve probleme nasıl baktıklarından kaynaklanıyordu. Hikâyede erkek karakterlerin çözüm ve strateji tarafını, kadın karakterin ise bağlantıları ve insanların ihtiyaçlarını fark eden yönünü öne çıkarırken bunları cinsiyete ait değişmez özellikler gibi düşünmemek önemliydi. Gerçek hayatta analitik düşünen kadınlar da, son derece empatik ve ilişkisel yaklaşan erkekler de vardır.
Asıl mesele farklı bakışların aynı masada buluşmasıydı.
7, 8 ve 9'un Peşinden Giderken
Kerem tahtaya sayıları yazdı:
7
8
9
“Şimdi asal çarpanlarına ayıralım,” dedi.
7 zaten asal sayıydı.
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
“Bir sayının EKOK’unu bulurken,” diye devam etti Kerem, “asal çarpanların her biri için en yüksek kuvveti almamız gerekiyor.”
Bu yöntem matematikte standart bir yaklaşımdır. Millî Eğitim Bakanlığına ait matematik materyallerinde de EKOK, sayıların pozitif ortak katlarının en küçüğü olarak açıklanıyor ve asal çarpanlara ayırma yöntemiyle hesaplama gösteriliyor. OGM Materyal+1
Dolayısıyla elimizde:
7
2³
3²
vardı.
Bunları çarptığımızda:
7 × 8 × 9 = 504
sonucuna ulaşıyorduk.
Deniz hemen:
“Demek cevap 504,” dedi.
Zeynep gülümsedi.
“Evet. Ama 504'ün gerçekten üçünün de katı olduğunu kontrol edelim.”
Önce 7:
504 ÷ 7 = 72
Sonra 8:
504 ÷ 8 = 63
Sonra 9:
504 ÷ 9 = 56
Üçünde de kalan sıfırdı.
“İşte şimdi emin olduk,” dedi Zeynep.
Bu küçük kontrol aslında matematik öğrenmenin güzel taraflarından birini gösteriyordu. Sonucu bulmak başka, sonucu doğrulamak başkaydı.
504 hem 7'nin, hem 8'in, hem de 9'un katıydı.
Üstelik yalnızca bir ortak kat değildi.
Peki 504 Neden En Küçük Ortak Kat?
Burada hikâyenin asıl matematiksel düğümüne geliyoruz.
Bir sayının ortak kat olması için 7'ye, 8'e ve 9'a tam bölünmesi yeterlidir. Fakat soru “ortak kat” değil de “en küçük ortak kat” şeklindeyse daha küçük bir seçenek olup olmadığını da düşünmemiz gerekir.
7, 8 ve 9'un asal çarpanları birbirinden tamamen ayrıdır:
7 = 7
8 = 2³
9 = 3²
Aralarında ortak asal çarpan bulunmadığı için üç sayının EKOK'u doğrudan çarpımlarına eşittir:
7 × 8 × 9 = 504.
Wolfram MathWorld da EKOK'u birden fazla sayının her birinin katı olan en küçük pozitif sayı olarak tanımlıyor; asal çarpan yönteminde her asalın gereken en yüksek kuvvetinin alınması gerektiğini açıklıyor. Wolfram MathWorld
Böylece cevap:
EKOK(7, 8, 9) = 504
oluyor.
Fakat hikâyemiz burada bitmedi.
Çünkü Zeynep'in ortaya attığı günlük hayat sorusu hâlâ masadaydı.
Üç Takvimin Yeniden Buluştuğu Gün
Zeynep hayali bir şehir düşündü.
Bu şehirde üç farklı etkinlik düzenleniyordu.
Birinci etkinlik her 7 günde bir yapılıyordu.
İkinci etkinlik her 8 günde bir tekrarlanıyordu.
Üçüncü etkinlik ise her 9 günde bir gerçekleştiriliyordu.
Üç etkinlik aynı gün başlamış olsun.
İlk etkinlik 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56... şeklinde ilerleyecekti.
İkinci etkinlik:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...
Üçüncü etkinlik:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63...
Bir süre bu listeleri yazdıklarında ortak bir sayı aradılar.
56, ilk iki listenin ortak sayısıydı ama üçüncü listede yoktu.
72, 8 ve 9'un ortak katıydı ama 7'nin değildi.
Ve sonunda 504 geldi.
7 × 72 = 504
8 × 63 = 504
9 × 56 = 504
Üç takvim yeniden aynı noktada buluşmuştu.
Bu yüzden 504 yalnızca bir matematik sonucu değil, tekrar eden döngülerin yeniden kesiştiği bir zaman noktası gibi düşünülebilir.
Aslında EKOK'un günlük hayatta kullanılmasının temel mantığı da budur. Farklı aralıklarla tekrar eden olayların ne zaman yeniden aynı zamana denk geleceğini bulmak için ortak katlardan yararlanılır. MEB'in matematik materyallerinde de EKOK'un sayıların katlarını belirli bir noktada buluşturmak ve parçaları birleştirerek bir bütün elde etmek gibi durumlarda kullanılabileceği belirtiliyor. OGM Materyal
Sayılardan Takvimlere: Tarih Boyunca Zamanı Düzenleme İhtiyacı
Burada matematiğin tarihsel tarafı da devreye giriyor.
İnsanlar tarih boyunca zamanı düzenlemek zorunda kaldı. Tarım toplumlarında ekim ve hasat dönemleri, dini törenler, pazar günleri, vergilerin toplanması, nöbet sistemleri ve toplumsal toplantılar belirli döngülere göre düzenleniyordu.
Eski toplumların kullandığı takvim sistemleri bugünkü takvimlerden oldukça farklıydı. Ancak temel ihtiyaç aynıydı:
“Bir olay tekrar ne zaman gerçekleşecek?”
Bir etkinlik belli aralıklarla gerçekleşiyorsa, farklı etkinliklerin tekrar aynı zamana denk gelmesini hesaplamak aslında modern bilgisayarların yaptığı takvim planlamasının da matematiksel mantığına benzer.
Bugün telefonlarımızdaki takvim uygulamalarında bir toplantıyı haftalık, iki haftalık veya aylık olarak tekrar ettirebiliyoruz. Arka planda ise zamanın belirli aralıklarla düzenlenmesi fikri bulunuyor.
Bu açıdan bakınca 7, 8 ve 9 sayıları artık yalnızca sınavda karşımıza çıkan rakamlar olmaktan çıkıyor.
Onlar üç farklı ritmi temsil ediyor.
Ve 504, bu üç ritmin yeniden buluştuğu nokta oluyor.
Kerem'in Planı, Zeynep'in Sorusu
Hikâyeye döndüğümüzde Kerem hemen bir sonraki adımı planladı.
“Eğer etkinlikler bugün başladıysa, 504 gün sonra yeniden aynı güne denk gelecekler.”
Zeynep başını salladı.
“Matematiksel olarak evet. Ama insanların planlarını da düşünmek gerekir. 504 gün uzun bir süre. Bir etkinliğin 7 günde, diğerinin 8 günde, diğerinin 9 günde gerçekleşmesi organizasyon açısından ne anlama gelir?”
Deniz araya girdi:
“Demek ki doğru matematiksel cevap, gerçek hayattaki bütün soruları tek başına çözmüyor.”
“Tam olarak,” dedi Zeynep.
İşte bu nokta bence hikâyenin en önemli kısmıydı.
Bir problemi çözmek için strateji gerekir.
Fakat çözümün insanlara nasıl uygulanacağını anlamak için bağlam gerekir.
Kerem'in yöntemi bize hesaplamanın yolunu gösteriyordu.
Zeynep'in yaklaşımı ise “Bu sonucu nerede kullanacağız?” sorusunu soruyordu.
Deniz ise ikisini bir araya getirip sonucu kontrol ediyordu.
Üç yaklaşım birleşince daha güçlü bir problem çözme biçimi ortaya çıkıyordu.
Burada karakterlerin cinsiyetlerinden çok, farklı düşünme alışkanlıklarının birbirini tamamlaması önemliydi.
504'ün Ardındaki Küçük Ama Güçlü Ders
Matematikte bazen bir soru çok basit görünür.
“7, 8 ve 9'un ortak katı nedir?”
Cevap:
504
Ama bu cevaba ulaşmanın birden fazla yolu vardır.
Katları tek tek yazabiliriz.
7'nin katlarını:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56...
8'in katlarını:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...
9'un katlarını:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63...
şeklinde inceleyebiliriz.
Daha pratik yöntem ise asal çarpanlara ayırmaktır:
7 = 7
8 = 2³
9 = 3²
Buradan:
EKOK = 2³ × 3² × 7
EKOK = 8 × 9 × 7
EKOK = 504
olur.
Bu yöntem, özellikle sayılar büyüdükçe çok daha kullanışlı hâle gelir. MEB'in matematik kaynaklarında da EKOK hesaplamalarında asal çarpanların uygun en yüksek üslerinin kullanılmasına yönelik örnekler yer alıyor. OGM Materyal+1
Peki 504'ten Sonra Ne Gelir?
Hikâyenin sonunda Deniz deftere yeni bir soru yazdı:
“504'ten sonra 7, 8 ve 9'un ortak katları hangileridir?”
Kerem hiç düşünmeden cevap verdi:
“504'ün katları.”
Yani:
504
1008
1512
2016
2520
3024
...
Çünkü bir kez üç sayının ortak katını bulduğumuzda, onun pozitif tam katları da üç sayının ortak katı olmaya devam eder.
Zeynep ise deftere son bir cümle ekledi:
“Bazı buluşmaların zamanı uzun sürer; ama doğru ritimleri bulduğunuzda tekrar kaçınılmazdır.”
Bu cümle matematiksel bir kural değildi.
Ama matematiğin bize düşündürdüğü bir şeydi.
Farklı aralıklarla hareket eden üç olayın yeniden aynı noktada buluşması, aslında hayatın birçok alanındaki planlamaya benziyordu.
Bir insanın haftalık düzeni başka olabilir.
Bir kurumun toplantıları başka aralıklarla yapılabilir.
Bir fabrikanın bakım sistemi farklı bir döngüye sahip olabilir.
Bir okulun sınav, etkinlik ve toplantı takvimleri birbirinden farklı olabilir.
Sorun çoğu zaman bu farklılıkların var olması değildir.
Asıl mesele, farklı ritimlerin ne zaman aynı noktada buluşacağını bilmektir.
Forumdaki Asıl Soru: Siz 504'ü Nerede Kullanırdınız?
Ben bu sorunun yalnızca “7 × 8 × 9 = 504” şeklinde cevaplanıp geçilmesini biraz eksik buluyorum.
Çünkü 504'ün arkasında çok güzel bir matematiksel fikir var:
Farklı sayıların ortak bir noktada buluşması.
7'nin döngüsü başka.
8'in döngüsü başka.
9'un döngüsü başka.
Ama hepsinin ortak bir noktası var:
504.
Üstelik bu sayı ilk kez karşılaştıkları en küçük ortak nokta.
Şimdi merak ettiğim şu:
Bir etkinlik 7 günde bir, başka bir etkinlik 8 günde bir, üçüncü etkinlik 9 günde bir yapılıyorsa ve bugün üçü aynı güne denk geldiyse, 504 gün sonra yeniden aynı güne denk gelmeleri sizin günlük hayatınızda ne işe yarardı?
Ya da daha ilginç bir soru:
7, 8 ve 9 yerine 6, 8 ve 12 verilseydi aynı yöntemi kullanarak sonucu nasıl bulurdunuz?
Belki de matematikte en güzel taraf, cevabı bulduktan sonra yeni bir soru üretmeye başlamaktır.
Bu küçük hikâyenin sonunda masadaki üç kişi de aynı sonuca ulaşmıştı ama üçü farklı yollardan gelmişti.
Kerem yöntemi kurmuştu.
Zeynep sonucu hayatın içine yerleştirmişti.
Deniz ise ikisini birleştirip kontrol etmişti.
Ve eski defterin sayfasında tek bir sayı kalmıştı:
504
7'nin, 8'in ve 9'un ortak katlarının başlangıç noktası.
Daha doğrusu, en küçük ortak katı.
Matematikte buna EKOK diyoruz. MEB'in eğitim materyallerindeki tanıma göre birden fazla sayının pozitif ortak katları arasındaki en küçüğü EKOK'tur. OGM Materyal+1
Bazen bir matematik sorusunun cevabı yalnızca bir sayı değildir.
Bazen o sayı, farklı yolların aynı noktada buluşabileceğini anlatan küçük bir hikâyedir.
Geçenlerde çok sıradan başlayan bir akşamın, beni yeniden temel matematiğin ne kadar ilginç olabileceğini düşünmeye götüreceğini hiç tahmin etmezdim. Evde oturmuş, masanın üzerinde duran eski bir defterin sayfalarını karıştırıyordum. Defterin arasında çocukların çözdüğü birkaç matematik sorusu vardı. Sorulardan biri özellikle dikkatimi çekti:
“7, 8 ve 9 sayılarının ortak katı nedir?”
İlk bakışta insanın aklına hemen “504” cevabı geliyor. Fakat mesele yalnızca 504 sayısını bulmak değil. Bir sayının neden ortak kat olduğunu anlamak, özellikle de bunu günlük hayattaki planlama ve tekrar eden olaylarla ilişkilendirmek, soruyu çok daha anlamlı hâle getiriyor.
O akşam bu küçük soruyu çözmek için masaya oturan üç kişinin hikâyesini zihnimde canlandırdım. Hikâyenin içinde matematik kadar insanların farklı düşünme biçimleri, geçmişten bugüne değişen zaman anlayışı ve birlikte karar vermenin önemi de vardı.
Belki siz de okurken kendinizi bu masanın bir köşesinde hissedersiniz.
Eski Defter ve Üç Farklı Bakış Açısı
Defterin sahibi olan Deniz, sayılara bakınca doğrudan sonuca gitmeyi seven biriydi. Önündeki problemi görür görmez:
“7, 8 ve 9’un ortak katını bulmamız gerekiyor. Önce asal çarpanlarına ayıralım,” dedi.
Yanında oturan Kerem ise daha stratejik düşünüyordu. Onun için bir problemi çözmek, yalnızca doğru cevabı bulmak değil, gereksiz adımları ortadan kaldırmak anlamına geliyordu.
“Önce 7 ile 8’in durumuna bakalım. 7 asal, 8 ise 2’nin üçüncü kuvveti. Bunların ortak böleni yok. Dolayısıyla 7 × 8 = 56. Sonra 56 ile 9’u karşılaştırırız.”
Masadaki üçüncü kişi Zeynep ise hemen hesaplamaya başlamadı.
“Bir dakika,” dedi. “Bu sorunun gerçek hayatta neye benzediğini düşünelim. Mesela biri 7 günde bir, diğeri 8 günde bir, üçüncüsü 9 günde bir gerçekleşen üç etkinlik olsa, hepsinin aynı güne denk gelmesini istesek ne yapardık?”
Bu soru masadaki havayı değiştirdi.
Kerem hesaplamaya odaklanmıştı.
Deniz sonucu bulmak istiyordu.
Zeynep ise problemin arkasındaki ilişkiyi görmeye çalışıyordu.
Burada özellikle hoşuma giden bir ayrıntı vardı: Birinin erkek, diğerinin kadın olması, düşünme biçimlerinin nedeni değildi. Üçünün de farklı yaklaşımı kişiliklerinden, deneyimlerinden ve probleme nasıl baktıklarından kaynaklanıyordu. Hikâyede erkek karakterlerin çözüm ve strateji tarafını, kadın karakterin ise bağlantıları ve insanların ihtiyaçlarını fark eden yönünü öne çıkarırken bunları cinsiyete ait değişmez özellikler gibi düşünmemek önemliydi. Gerçek hayatta analitik düşünen kadınlar da, son derece empatik ve ilişkisel yaklaşan erkekler de vardır.
Asıl mesele farklı bakışların aynı masada buluşmasıydı.
7, 8 ve 9'un Peşinden Giderken
Kerem tahtaya sayıları yazdı:
7
8
9
“Şimdi asal çarpanlarına ayıralım,” dedi.
7 zaten asal sayıydı.
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
“Bir sayının EKOK’unu bulurken,” diye devam etti Kerem, “asal çarpanların her biri için en yüksek kuvveti almamız gerekiyor.”
Bu yöntem matematikte standart bir yaklaşımdır. Millî Eğitim Bakanlığına ait matematik materyallerinde de EKOK, sayıların pozitif ortak katlarının en küçüğü olarak açıklanıyor ve asal çarpanlara ayırma yöntemiyle hesaplama gösteriliyor. OGM Materyal+1
Dolayısıyla elimizde:
7
2³
3²
vardı.
Bunları çarptığımızda:
7 × 8 × 9 = 504
sonucuna ulaşıyorduk.
Deniz hemen:
“Demek cevap 504,” dedi.
Zeynep gülümsedi.
“Evet. Ama 504'ün gerçekten üçünün de katı olduğunu kontrol edelim.”
Önce 7:
504 ÷ 7 = 72
Sonra 8:
504 ÷ 8 = 63
Sonra 9:
504 ÷ 9 = 56
Üçünde de kalan sıfırdı.
“İşte şimdi emin olduk,” dedi Zeynep.
Bu küçük kontrol aslında matematik öğrenmenin güzel taraflarından birini gösteriyordu. Sonucu bulmak başka, sonucu doğrulamak başkaydı.
504 hem 7'nin, hem 8'in, hem de 9'un katıydı.
Üstelik yalnızca bir ortak kat değildi.
Peki 504 Neden En Küçük Ortak Kat?
Burada hikâyenin asıl matematiksel düğümüne geliyoruz.
Bir sayının ortak kat olması için 7'ye, 8'e ve 9'a tam bölünmesi yeterlidir. Fakat soru “ortak kat” değil de “en küçük ortak kat” şeklindeyse daha küçük bir seçenek olup olmadığını da düşünmemiz gerekir.
7, 8 ve 9'un asal çarpanları birbirinden tamamen ayrıdır:
7 = 7
8 = 2³
9 = 3²
Aralarında ortak asal çarpan bulunmadığı için üç sayının EKOK'u doğrudan çarpımlarına eşittir:
7 × 8 × 9 = 504.
Wolfram MathWorld da EKOK'u birden fazla sayının her birinin katı olan en küçük pozitif sayı olarak tanımlıyor; asal çarpan yönteminde her asalın gereken en yüksek kuvvetinin alınması gerektiğini açıklıyor. Wolfram MathWorld
Böylece cevap:
EKOK(7, 8, 9) = 504
oluyor.
Fakat hikâyemiz burada bitmedi.
Çünkü Zeynep'in ortaya attığı günlük hayat sorusu hâlâ masadaydı.
Üç Takvimin Yeniden Buluştuğu Gün
Zeynep hayali bir şehir düşündü.
Bu şehirde üç farklı etkinlik düzenleniyordu.
Birinci etkinlik her 7 günde bir yapılıyordu.
İkinci etkinlik her 8 günde bir tekrarlanıyordu.
Üçüncü etkinlik ise her 9 günde bir gerçekleştiriliyordu.
Üç etkinlik aynı gün başlamış olsun.
İlk etkinlik 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56... şeklinde ilerleyecekti.
İkinci etkinlik:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...
Üçüncü etkinlik:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63...
Bir süre bu listeleri yazdıklarında ortak bir sayı aradılar.
56, ilk iki listenin ortak sayısıydı ama üçüncü listede yoktu.
72, 8 ve 9'un ortak katıydı ama 7'nin değildi.
Ve sonunda 504 geldi.
7 × 72 = 504
8 × 63 = 504
9 × 56 = 504
Üç takvim yeniden aynı noktada buluşmuştu.
Bu yüzden 504 yalnızca bir matematik sonucu değil, tekrar eden döngülerin yeniden kesiştiği bir zaman noktası gibi düşünülebilir.
Aslında EKOK'un günlük hayatta kullanılmasının temel mantığı da budur. Farklı aralıklarla tekrar eden olayların ne zaman yeniden aynı zamana denk geleceğini bulmak için ortak katlardan yararlanılır. MEB'in matematik materyallerinde de EKOK'un sayıların katlarını belirli bir noktada buluşturmak ve parçaları birleştirerek bir bütün elde etmek gibi durumlarda kullanılabileceği belirtiliyor. OGM Materyal
Sayılardan Takvimlere: Tarih Boyunca Zamanı Düzenleme İhtiyacı
Burada matematiğin tarihsel tarafı da devreye giriyor.
İnsanlar tarih boyunca zamanı düzenlemek zorunda kaldı. Tarım toplumlarında ekim ve hasat dönemleri, dini törenler, pazar günleri, vergilerin toplanması, nöbet sistemleri ve toplumsal toplantılar belirli döngülere göre düzenleniyordu.
Eski toplumların kullandığı takvim sistemleri bugünkü takvimlerden oldukça farklıydı. Ancak temel ihtiyaç aynıydı:
“Bir olay tekrar ne zaman gerçekleşecek?”
Bir etkinlik belli aralıklarla gerçekleşiyorsa, farklı etkinliklerin tekrar aynı zamana denk gelmesini hesaplamak aslında modern bilgisayarların yaptığı takvim planlamasının da matematiksel mantığına benzer.
Bugün telefonlarımızdaki takvim uygulamalarında bir toplantıyı haftalık, iki haftalık veya aylık olarak tekrar ettirebiliyoruz. Arka planda ise zamanın belirli aralıklarla düzenlenmesi fikri bulunuyor.
Bu açıdan bakınca 7, 8 ve 9 sayıları artık yalnızca sınavda karşımıza çıkan rakamlar olmaktan çıkıyor.
Onlar üç farklı ritmi temsil ediyor.
Ve 504, bu üç ritmin yeniden buluştuğu nokta oluyor.
Kerem'in Planı, Zeynep'in Sorusu
Hikâyeye döndüğümüzde Kerem hemen bir sonraki adımı planladı.
“Eğer etkinlikler bugün başladıysa, 504 gün sonra yeniden aynı güne denk gelecekler.”
Zeynep başını salladı.
“Matematiksel olarak evet. Ama insanların planlarını da düşünmek gerekir. 504 gün uzun bir süre. Bir etkinliğin 7 günde, diğerinin 8 günde, diğerinin 9 günde gerçekleşmesi organizasyon açısından ne anlama gelir?”
Deniz araya girdi:
“Demek ki doğru matematiksel cevap, gerçek hayattaki bütün soruları tek başına çözmüyor.”
“Tam olarak,” dedi Zeynep.
İşte bu nokta bence hikâyenin en önemli kısmıydı.
Bir problemi çözmek için strateji gerekir.
Fakat çözümün insanlara nasıl uygulanacağını anlamak için bağlam gerekir.
Kerem'in yöntemi bize hesaplamanın yolunu gösteriyordu.
Zeynep'in yaklaşımı ise “Bu sonucu nerede kullanacağız?” sorusunu soruyordu.
Deniz ise ikisini bir araya getirip sonucu kontrol ediyordu.
Üç yaklaşım birleşince daha güçlü bir problem çözme biçimi ortaya çıkıyordu.
Burada karakterlerin cinsiyetlerinden çok, farklı düşünme alışkanlıklarının birbirini tamamlaması önemliydi.
504'ün Ardındaki Küçük Ama Güçlü Ders
Matematikte bazen bir soru çok basit görünür.
“7, 8 ve 9'un ortak katı nedir?”
Cevap:
504
Ama bu cevaba ulaşmanın birden fazla yolu vardır.
Katları tek tek yazabiliriz.
7'nin katlarını:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56...
8'in katlarını:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...
9'un katlarını:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63...
şeklinde inceleyebiliriz.
Daha pratik yöntem ise asal çarpanlara ayırmaktır:
7 = 7
8 = 2³
9 = 3²
Buradan:
EKOK = 2³ × 3² × 7
EKOK = 8 × 9 × 7
EKOK = 504
olur.
Bu yöntem, özellikle sayılar büyüdükçe çok daha kullanışlı hâle gelir. MEB'in matematik kaynaklarında da EKOK hesaplamalarında asal çarpanların uygun en yüksek üslerinin kullanılmasına yönelik örnekler yer alıyor. OGM Materyal+1
Peki 504'ten Sonra Ne Gelir?
Hikâyenin sonunda Deniz deftere yeni bir soru yazdı:
“504'ten sonra 7, 8 ve 9'un ortak katları hangileridir?”
Kerem hiç düşünmeden cevap verdi:
“504'ün katları.”
Yani:
504
1008
1512
2016
2520
3024
...
Çünkü bir kez üç sayının ortak katını bulduğumuzda, onun pozitif tam katları da üç sayının ortak katı olmaya devam eder.
Zeynep ise deftere son bir cümle ekledi:
“Bazı buluşmaların zamanı uzun sürer; ama doğru ritimleri bulduğunuzda tekrar kaçınılmazdır.”
Bu cümle matematiksel bir kural değildi.
Ama matematiğin bize düşündürdüğü bir şeydi.
Farklı aralıklarla hareket eden üç olayın yeniden aynı noktada buluşması, aslında hayatın birçok alanındaki planlamaya benziyordu.
Bir insanın haftalık düzeni başka olabilir.
Bir kurumun toplantıları başka aralıklarla yapılabilir.
Bir fabrikanın bakım sistemi farklı bir döngüye sahip olabilir.
Bir okulun sınav, etkinlik ve toplantı takvimleri birbirinden farklı olabilir.
Sorun çoğu zaman bu farklılıkların var olması değildir.
Asıl mesele, farklı ritimlerin ne zaman aynı noktada buluşacağını bilmektir.
Forumdaki Asıl Soru: Siz 504'ü Nerede Kullanırdınız?
Ben bu sorunun yalnızca “7 × 8 × 9 = 504” şeklinde cevaplanıp geçilmesini biraz eksik buluyorum.
Çünkü 504'ün arkasında çok güzel bir matematiksel fikir var:
Farklı sayıların ortak bir noktada buluşması.
7'nin döngüsü başka.
8'in döngüsü başka.
9'un döngüsü başka.
Ama hepsinin ortak bir noktası var:
504.
Üstelik bu sayı ilk kez karşılaştıkları en küçük ortak nokta.
Şimdi merak ettiğim şu:
Bir etkinlik 7 günde bir, başka bir etkinlik 8 günde bir, üçüncü etkinlik 9 günde bir yapılıyorsa ve bugün üçü aynı güne denk geldiyse, 504 gün sonra yeniden aynı güne denk gelmeleri sizin günlük hayatınızda ne işe yarardı?
Ya da daha ilginç bir soru:
7, 8 ve 9 yerine 6, 8 ve 12 verilseydi aynı yöntemi kullanarak sonucu nasıl bulurdunuz?
Belki de matematikte en güzel taraf, cevabı bulduktan sonra yeni bir soru üretmeye başlamaktır.
Bu küçük hikâyenin sonunda masadaki üç kişi de aynı sonuca ulaşmıştı ama üçü farklı yollardan gelmişti.
Kerem yöntemi kurmuştu.
Zeynep sonucu hayatın içine yerleştirmişti.
Deniz ise ikisini birleştirip kontrol etmişti.
Ve eski defterin sayfasında tek bir sayı kalmıştı:
504
7'nin, 8'in ve 9'un ortak katlarının başlangıç noktası.
Daha doğrusu, en küçük ortak katı.
Matematikte buna EKOK diyoruz. MEB'in eğitim materyallerindeki tanıma göre birden fazla sayının pozitif ortak katları arasındaki en küçüğü EKOK'tur. OGM Materyal+1
Bazen bir matematik sorusunun cevabı yalnızca bir sayı değildir.
Bazen o sayı, farklı yolların aynı noktada buluşabileceğini anlatan küçük bir hikâyedir.